Juro Simples

O regime de juros simples, é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. 

Considere o capital inicial P aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n períodos.

Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, podemos escrever a seguinte fórmula, facilmente demonstrável:

J = P . i . n = Pin

J = juros produzidos depois de n períodos, do capital P aplicado a uma taxa de juros por período igual a i.

No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial adicionado aos juros produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado MONTANTE (M). Logo, teríamos:
M = P + J = P + P.i.n = P(1 + i.n)
Portanto, M = P(1+in).

Exemplo:

A quantia de $3000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos.

Solução:

Temos: P = 3000, i = 5% = 5/100 = 0,05 e n = 5 anos = 5.12 = 60 meses.
Portanto, M = 3000(1 + 0,05x60) = 3000(1+3) = $12000,00.

A fórmula J = Pin, onde P e i são conhecidos, nos leva a concluir pela linearidade da função juros simples, senão vejamos:

Façamos P.i = k.
Teremos, J = k.n, onde k é uma constante positiva.
(Observe que P . i > 0)
Ora, J = k.n é uma função linear, cujo gráfico é uma semi-reta passando pela origem. (Porque usei o termo semi-reta ao invés de reta?).
Portanto, J/n = k, o que significa que os juros simples J e o número de períodos n, são grandezas diretamente proporcionais. Daí, infere-se que o crescimento dos juros simples obedece a uma função linear, cujo crescimento depende do produto P.i = k, que é o coeficiente angular da semi-reta J = kn.

Exercício proposto:
Calcule o montante ao final de dez anos de um capital $10000,00 aplicado à taxa de juros simples de 18% ao semestre (18% a.s).
Resposta: $46000,00

Como já sabemos, se o capital P for aplicado por n períodos, a uma taxa de juros simples i, ao final dos n períodos, teremos que os juros produzidos serão iguais a J = Pin e que o montante (capital inicial adicionado aos juros do período) será igual a M = P(1 + in).

O segredo para o bom uso destas fórmulas é lembrar sempre que a taxa de juros i e o período n têm de ser referidos à mesma unidade de tempo.

Assim, por exemplo se num problema, a taxa de juros for
i =12% ao ano = 12/100 = 0,12 e o período n = 36 meses, antes de usar as fórmulas deveremos coloca-las referidas à mesma unidade de tempo, ou seja:
a) 12% ao ano, aplicado durante 36/12 = 3 anos , ou
b) 1% ao mês = 12%/12, aplicado durante 36 meses, etc.

História da Matemática

IV – Grécia Clássica

            Consideramos o período compreendido entre 2.000 a.c. até 35 a.c. como sendo o período clássico ou período de ouro do povo Grego. Período este que se encerra com o domínio da Grécia pelos Romanos.

           A civilização grega, propriamente dita, foi formada nos séculos XX a.c. a XII a.c. por invasões de Aqueus, Jônios, Eólios e Dórios.

A Grécia antiga é considerada como o berço da civilização ocidental. Mas, na realidade,  anteriormente a ela desenvolveu-se a civilização cretense. 

Com Alexandre Magno ocorreu a fusão da cultura Grega com a oriental, o que auxiliou em muito a expansão das ciências e da matemática, principalmente em contatos com Árabes e Hindus.

Podemos afirmar, com certeza, que a liberdade de pensamento da civilização Grega contribuiu para o desenvolvimento das ciências, em especial, a matemática. O intercâmbio de idéias e conhecimento entre o oriente e o ocidente frutificou nas inúmeras bibliotecas que se formaram, como a de Alexandria (Egito), que possuía cerca de 400 mil volumes.

A base da revolução matemática exercida pela civilização Grega partiu de uma idéia muito simples. Enquanto Egípcios e Babilônicos perguntavam: “como”? os filósofos gregos passaram a indagar: “por quê”? Assim, a matemática que até este momento era, essencialmente, prática, passou a ter seu desenvolvimento voltado para conceituação, teoremas e axiomas.

A matemática, através da história, não pode ser separada da astronomia. Foram as necessidades relacionadas com a irrigação, agricultura e com a navegação que concederam à astronomia o primeiro lugar nas ciências, determinando o rumo da matemática.

Dois fatores estimularam e facilitaram o grande desenvolvimento da ciência e da matemática pelos filósofos gregos: a substituição da escrita grosseira do antigo oriente por um alfabeto fácil de aprender e a introdução da moeda cunhada, o que estimulou ainda mais o comércio.

A matemática moderna teve origem no racionalismo jônico, e teve como principal estimulador Tales de Mileto, considerado o pai da matemática moderna. Este racionalismo objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais: compreensão do lugar do homem no universo conforme um esquema racional, encontrar a ordem no caos, ordenar as idéias em seqüências lógicas e obtenção de princípios fundamentais. Estes pontos partiram da observação que os povos orientais tinham deixado de fazer todo o processo de racionalização de sua matemática, contentando-se, tão somente, com sua aplicação.

Neste período começam a surgir as primeiras divisões nas ciências. Na Grécia surgem dois grupos distintos de filósofos: os Sofistas e os Pitagóricos, os quais passam a analisar as ciências de dois modos diferentes.

            Os Sofistas abordavam os problemas de natureza matemática como uma investigação filosófica do mundo natural e moral, desenvolvendo uma matemática mais voltada à compreensão do que à utilidade. É o começo da abstração matemática, em detrimento da matemática essencialmente prática.

Os Pitagóricos, sociedade secreta criada por Pitágoras de Samos, enfatizavam o estudo dos elementos imutáveis da natureza e da sociedade. O chefe desta sociedade foi Arquitas de Tarento. Os Pitagóricos estudavam o quadrivium (geometria, aritmética, astronomia e música). Sua filosofia pode ser resumida na expressão “tudo é número”, com a qual diziam que tudo na natureza pode ser expresso por meio dos números. Pitágoras dizia que: “tudo na natureza está arranjado conforme as formas e os números”. Aos Pitagóricos (Pitágoras, principalmente) podemos creditar duas descobertas importantes: o conceito de número irracional por meio de segmentos de retas incomensuráveis e a axiomatização das relações entre os lados de um triângulo retângulo (teorema de Pitágoras), que já era conhecido por babilônicos e egípcios.

Paralelo a isto, os matemáticos gregos do período clássico começam a trabalhar com o princípio da indução lógica (apagoge), que é o início da axiomática, a qual foi desenvolvida por Hipócrates. Os três problemas que deram início ao estudo da axiomática foram: trissecção de um ângulo, duplicação do volume do cubo (problema délico) e quadratura do círculo.

Com as campanhas de Alexandre, o grande, houve um avanço rápido da civilização grega em direção ao oriente. Assim, a matemática grega sofreu as influências dos problemas de administração e da astronomia desenvolvidas no oriente. Este contato entre as duas matemáticas foi extremamente importante e produtivo, principalmente no período de 350 a 200 a.c.. Neste contexto, Alexandria torna-se o centro cultural e econômico do mundo helenístico.

Durante todo o período grego, vários filósofos e matemáticos deram sua contribuição ao desenvolvimento da matemática. Neste período surgem os cientistas, homens que dedicavam sua vida à procura do conhecimento e que por isso recebiam um salário. Será citado, agora, um breve comentário sobre a contribuição dos matemáticos considerados os mais importantes e influentes deste período.

·         Euclides (306?-283? a.c.)

Seu trabalho mais famoso é a coleção “Os elementos”, obra em 13 volumes, que contém aplicações da álgebra à geometria, baseados numa dedução estritamente lógica de teoremas, postulados, definições e axiomas. Até os dias de hoje, este é o livro mais impresso em matemática.

·         Arquimedes (287 – 212 a.c.)

É considerado o maior matemático do período helenístico e de toda antiguidade. Suas maiores contribuições foram feitas no campo que hoje denominamos “cálculo integral”, por meio do seu “método de exaustão”. Arquimedes também deu importante contribuição na mecânica e engenharia, com o desenvolvimento de vários artefatos, principalmente militares. Foi morto por um soldado romano quando da queda de Siracusa.

·         Apolônio de Perga (247-205 a.c.)

Com Apolônio há uma volta à tradicional geometria grega. Ele escreveu um tratado de oito livros sobre as cônicas (parábola, elipse e hipérbole), introduzidas como seções de um cone circular.

·         Ptolomeu (150 d.c.)

Publicou o “Almagesto”, obra de astronomia com superior maestria e originalidade. Nesta obra encontra-se a fórmula para o seno e o cosseno da soma e da diferença de dois ângulos e um começo da geometria esférica.

 ·         Nicómaco de Gerasa

Publicou “Introdução à aritmética”, que é a exposição mais completa da aritmética pitagórica. Muito do que sabemos sobre Pitágoras provém desta publicação.

·         Diofanto

Publicou “Arithmética”, a qual recebeu uma forte influência oriental. Este trabalho trata da solução e análise de equações indeterminadas.

            Podemos, então, determinar uma relação entre a crise da matemática e a crise do sistema social, pois a queda de Atenas significou o fim do império da democracia escravagista. Esta crise social influenciou a crise nas ciências que culminou com o fechamento da escola de Atenas, marcando com isto o fim da matemática grega clássica.

             Podemos observar que as descobertas matemáticas estão relacionadas com os avanços obtidos pela sociedade, tanto intelectuais como comerciais. Se no princípio a matemática era essencialmente prática, visto que as sociedades eram rudimentares, com o desenvolvimento destas sociedades a matemática também evoluiu, passando de uma simples ferramenta que auxiliava aos problemas práticos para uma ciência que serviu como chave para analisar o mundo e a natureza em que vivemos.

            Todas as descobertas matemáticas realizadas pelos povos pré-históricos, egípcios e babilônicos serviram como subsídio para a matemática desenvolvida pelos gregos. Esta matemática grega foi, e continua sendo, a base de nossa matemática. Todo o desenvolvimento tecnológico obtido em nossos dias tem como ponto de partida a matemática grega.

            Assim, sem a axiomatização desenvolvida pelos gregos, não haveria o desenvolvimento da matemática abstrata e dos conceitos, postulados, definições e axiomas tão necessários à nossa matemática.

            Da matemática da antiguidade, fundamental a nós hoje, podemos citar: processos de contagem, numeração, trigonometria, astronomia, geometria plana e volumes de corpos sólidos, sistema sexagesimal, equações quadráticas e bi-quadráticas, relações métricas nos triângulos retângulos, seções cônicas e o método de exaustão, que foi o germe do cálculo integral.

BIBLIOGRAFIA

BARBEIRO, Heródoto. Et alli. História. Ed. Scipione. 2005

BERUTTI, Flávio. História. Ed. Saraiva. 2004.

BOYER, Carl B. História da matemática. 2º ed. SP. Edgard Blucher, 2003.

EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 2º ed. UNICAMP,  2002.

STRUIK, História concisa das matemáticas. Gradiva. 1989.

História da Matemática

III – Mesopotâmia

            A Mesopotâmia, que em Grego significa “terra entre rios”, situava-se no oriente médio, no chamado crescente fértil, entre os rios Tigre e Eufrates, onde hoje está situado o Iraque e a Síria, principalmente. Os povos que formavam a Mesopotâmia foram os Sumérios, Acádios, Amoritas, Caldeus e Hititas, os quais lutavam pela posse das terras aráveis.

       As duas civilizações, Egípcia e Mesopotâmica, desenvolveram-se no mesmo período. Mas, este desenvolvimento deu-se em separado, não havendo um intercâmbio de informações.

            As mesmas dificuldades que acarretaram o desenvolvimento das ciências no Egito foram a mola propulsora deste desenvolvimento nesta região. Porém ao contrário do que ocorria com as águas do rio Nilo, os períodos de cheia dos rios Tigre e Eufrates eram bastante irregulares, obrigando a realização de numerosas obras de irrigação e drenagem, com períodos de observação e desenvolvimento com uma maior dificuldade.

Uma das tabelas mais importantes, sob o ponto de vista matemático, foi a chamada tábua “Plimpton 322”, a qual traz uma série de informações matemáticas, entre elas a relação entre os três lados de um triângulo.

A economia estava baseada na agricultura e no comércio de trocas. Visto a localização geográfica da região que facilitava o contato entre os povos conhecidos da época.

A ciência e, por conseqüência, a matemática mesopotâmica teve um grande desenvolvimento por parte dos sacerdotes que detinham o saber nesta civilização. Assim como a matemática Egípcia, esta civilização teve uma matemática e/ou ciência extremamente prática. As matemáticas orientais surgiram como uma ciência prática, com o objetivo de facilitar o cálculo do calendário, a administração das colheitas, organização de obras públicas e a cobrança de impostos, bem como seus registros.

Foram desenvolvidos nestes rios grandes projetos de irrigação das terras cultiváveis e a construção de grandes diques de contenção, abrindo assim o caminho para o desenvolvimento de uma engenharia primitiva.

Os Babilônicos (assim também eram chamados os povos mesopotâmicos) tinham uma maior habilidade e facilidade para efetuar cálculos, talvez em virtude de sua linguagem ser mais acessível que a egípcia. Eles tinham técnicas para equações quadráticas e bi-quadráticas, além de possuírem fórmulas para áreas de figuras retilíneas simples e fórmulas para o cálculo do volume de sólidos simples. Sua geometria tinha suporte algébrico. Também conheciam as relações entre os lados de um triângulo retângulo e trigonometria básica, conforme descrito na tábua “Plimpton 322”.

Ao contrário dos Egípcios, que tinham um sistema posicional de base 10, os babilônicos possuíam um sistema posicional sexagesimal bem desenvolvido, o qual trazia enormes facilidades para os cálculos, visto que os divisores naturais de 60 são 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60, facilitando o cálculo com frações.

Por tudo isto que foi descrito, a matemática Babilônica tinha um nível mais elevado que a matemática Egípcia.

Pelo fato da Mesopotâmia estar situada no centro do mundo conhecido da época, o que propiciava grandes invasões e muito contato com outros povos, ela teve um papel muito grande no desenvolvimento da matemática de um povo que teve um papel muito importante na história: o povo Grego. Graças a este contato com o povo Grego, muito desta matemática chegou até os nossos dias. 

História da matemática

I – Pré-História

Considera-se como pré-história todo o período anterior a escrita. Neste período o homem era nômade, vivia em pequenos grupos, caçava, pescava e morava em cavernas. Não havia civilização como hoje nós a conhecemos.

Este período foi marcado por um baixíssimo nível intelectual, científico e matemático. Os aspectos sociais, políticos e econômicos acima citados, tiveram influência direta nesta pouca produção intelectual das sociedades. Mesmo assim, podemos citar algumas descobertas científicas e matemáticas.

Neste período houve a elaboração de um processo rudimentar de contagem: ranhuras em ossos, marcas em galhos, desenhos em cavernas e pedras. Também podemos citar aqui o processo que muitos utilizavam para relacionar quantidades, ou seja, para cada unidade obtida, era colocada uma pequena pedra em um saquinho.

Alguns povos, como os Sioux (tribo indígena americana) confeccionaram calendários pictográficos, desenhados em cavernas.

Destaca-se também a confecção de instrumentos e artefatos de guerra (primeiro em pedra, depois em bronze e ferro).

Foi somente após a revolução agrícola que as descobertas científicas e matemáticas tiveram um maior impulso. Esta revolução abriu o caminho não só para a criação das grandes civilizações, mas também para tudo aquilo que cerca esta construção.

II – Egito Antigo

            A civilização Egípcia se desenvolveu ao longo de uma extensa faixa de terra fértil que margeava o rio Nilo. Este rio prestou-se muito ao estabelecimento de grupos humanos. Suas margens férteis revelaram-se propícias à agricultura e, ainda, suas águas caudalosas facilitavam a abertura de canais de irrigação e a construção de diques. O estudo do Egito antigo está determinado entre 4.000 a.c. à 30 a.c. Houveram vários períodos dentro da história egípcia antiga, mas todos eles tiveram basicamente o mesmo aspecto social político e econômico, bem como matemático e científico. Somente com a invasão pelos romanos no século I a.c. é que ocorre um rompimento com sua cultura milenar.

Apenas a família do faraó, os sacerdotes e os nobres tinham acesso a uma educação rudimentar. Alguns escribas também obtinham, mediante vontade do faraó, acesso à educação.

Em um primeiro momento a economia Egípcia estava baseada na agricultura e no trabalho escravo. Os camponeses cultivavam a terra e entregavam aos nobres e ao faraó. Eles só tinham direito a uma pequena parte dos produtos para sua subsistência.

Em um segundo momento a economia foi ampliada para um comércio de troca de mercadorias com outros povos que viviam em outras regiões, principalmente os mesopotâmicos.

Pelo fato de que a sociedade egípcia era uma sociedade extremamente fixa, centrada na pessoa do faraó, que não permitia uma maior abertura para as classes inferiores, as ciências também foram prejudicadas. Mas, mesmo assim houve um grande avanço científico e matemático neste período.

A matemática egípcia sempre foi essencialmente prática. Quando o rio Nilo estava no período das cheias, começavam os problemas para as pessoas. Para resolver este problema foram desenvolvidos vários ramos da matemática. Foram construídas obras hidráulicas, reservatórios de água e canais de irrigação no rio Nilo. Procedeu-se a drenagem dos pântanos e regiões alagadas.

Começou-se também com uma geometria elementar e uma trigonometria básica (esticadores de corda) para facilitar a demarcação de terras. Com isto procedeu-se a um princípio de cálculo de áreas, raízes quadradas e frações. Também sabemos que os egípcios conheciam as relações métricas em um triângulo retângulo. O teorema de Pitágoras, na realidade, já era conhecido por povos bem mais antigos que os gregos.

No século XVIII d.c. foram descobertos vários papiros em escavações no Egito. Do ponto de vista matemático os mais importantes são os papiros de Moscou e os Papiros de Rhind. Estes papiros trazem uma série de problemas e coleções matemáticas em linguagem hieróglifa. Só foi possível a decifração desta linguagem, por Champolion, quando em 1799 uma expedição do exército Francês, sob o comando de Napoleão Bonaparte, descobriu perto de Rosetta, Alexandria uma pedra com escrita em três línguas: grego, demótico e hieróglifa. Somente com esta pedra foi possível decifrar a linguagem hieróglifa e traduzir estes papiros com grandes preciosidades matemáticas egípcias.

A construção das grandes pirâmides faz supor que o conhecimento matemático dos egípcios era muito mais avançado que o conhecido nos papiros. Talvez o fato da escrita ser muito difícil tenha sido um dos motivos que impediu este registro. Talvez, ainda, estes registros tenham sido feito em papiros que não chegaram aos nossos dias.

Podemos afirmar, com absoluta certeza, que a matemática egípcia foi um dos pilares da matemática grega, a qual foi a base para a nossa matemática moderna. Isto em geometria, trigonometria ou mesmo na astronomia.

ORIGEM DOS SINAIS

Adição ( + ) e subtração ( - )

O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d'Eger publicada em Leipzig em 1489.
Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio. Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557.Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não.

Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus.

Multiplicação ( . ) e divisão ( : )

O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão.

O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: "eu não gosto de X como um símbolo para a multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que eu uso também para a divisão."
As formas a/b e indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor. A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal :, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal ÷, segundo Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e :

Sinais de relação ( =, < e > )

Robert Recorde, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símboloentre duas expressões iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.

Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os dois membros da igualdade.

Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.

Sobre a geometria

HISTÓRIA DA GEOMETRIA

Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos astros. Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do teorema de Pitágoras. Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides. São etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilação dos conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as bases da Geometria. E realizavam operações mentais que depois seriam concretizadas nas figuras geométricas.

Uma medida para a vida

As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva. Dos gregos anteriores a Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates. E o resumo feito por Proclo ao comentar os

"Elementos" de Euclides, obra que data do século V a.C., refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da Geometria na Grécia, por importação do Egito.

Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de seita filosófica, que envolvia em mistério seus conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam a introdução de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e proposições admitidos sem demonstração (postulados o axiomas) para construir de maneira lógica tudo o mais. Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o círculo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda Geometria chamada euclidiana, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não-euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides.

O corpo como unidade

As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, pé, passo,

braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egito começaram a ser construídos os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas medidas construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento.

Ângulos e figuras

Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos.

O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O

processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está determinado de antemão. Os antigos geômetras, o solucionavam por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O teorema de Pitágoras explica porque: em todo triângulo-retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E 3²+4²=5², isto é, 9+16=25.

Qualquer trio de números inteiros ou não que respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma de esquadros.

Para medir superfícies

Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura.

Já para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um raciocínio extremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um retângulo e dividí-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo 12. Esses números exprimem então a área dessas figuras. Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado.

Quando deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício conhecido como triangulação: começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a todos os demais ângulos visíveis do campo, e assim este ficava completamente dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas davam a área total. Esse método - em uso até hoje - produzia pequenos erros, quando o terreno não era plano ou possuía bordos curvos.

De fato, muitos terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso de um rio. E construções há que requerem uma parede curva. Assim, um novo problema se apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um círculo. Por circunferência entende-se a linha da periferia do círculo, sendo este uma superfície. Já os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura. O comprimento dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha algo a ver com o comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a circunferência para ver quantas vezes cabia nela, puderam comprovar que cabia um pouco mais de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda, o resultado era o mesmo. Assim tiraram algumas conclusões: a) o comprimento de uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio; b) para conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28.

E a área do círculo? A história da Geometria explica-a de modo simples e interessante. Cerca de 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho de um círculo no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área da figura.

Conta a tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, pensou em determinar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia na área do círculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável tomar o que tivesse como lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que o quadrado estava contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes). Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14.

O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo p ("pi") representa esse número irracional, já determinado com uma aproximação de várias dezenas de casas decimais. Seu nome só tem uns duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba da palavra peripheria, significando circunferência.

Novas figuras

Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades eram fundadas na Grécia. Tales e seu discípulo Pitágoras coligiram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática, navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.

Uma dessas figuras foi chamada polígono, do grego polygon, que significa "muitos ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros aparelhos. O que não é de estranhar"desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção.

No primeiro caso, para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a costa, recorria-se a um curioso artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. Isto feito, a nave e os dois observadores ficavam exatamente nos vértices de um triângulo isósceles, porque os dois ângulos agudos mediam 45º cada um, e portanto os catetos eram iguais. Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância do barco até a costa.

O cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma árvore é também muito simples: crava-se verticalmente uma estaca na terra e espera-se o instante em que a extensão de sua sombra seja igual à sua altura. O triângulo formado pela estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos é isósceles. Basta medir a sombra para conhecer a altura.

Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural

A história continua

ORIGEM DO ZERO

Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus, desenvolvimentos parciais ou limitados do conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas de numeração pelo menos tão antigos quanto o sistema hindu, se não mais. Porém o efeito real de qualquer um desses passos mais antigos sobre o desenvolvimento pleno do conceito de zero - se é que de fato tiveram algum efeito - não está claro.

O sistema sexagesimal babilônico usado nos textos matemáticos e astronômicos era essencialmente um sistema posicional, ainda que o conceito de zero não estivesse plenamente desenvolvido. Muitas das tábuas babilônicas indicam apenas um espaço entre grupos de símbolos quando uma potência particular de 60 não era necessária, de maneira que as potências exatas de 60 envolvidas devem ser determinadas, em parte, pelo contexto. Nas tábuas babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos três séculos a.C.) usava-se um símbolo para indicar uma potência ausente, mas isto só ocorria no interior de um grupo numérico e não no final. Quando os gregos prosseguiram o desenvolvimento de tabelas astronômicas, escolheram explicitamente o sistema sexagesimal babilônico para expressar suas frações, e não o sistema egípcio de frações unitárias. A subdivisão repetida de uma parte em 60 partes menores precisava que às vezes “nem uma parte” de uma unidade fosse envolvida, de modo que as tabelas de Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.C.) incluem o símbolo ou 0 para indicar isto. Bem mais tarde, aproximadamente no ano 500, textos gregos usavam o ômicron, que é a primeira letra palavra grega oudem (“nada”). Anteriormente, o ômicron, restringia a representar o número 70, seu valor no arranjo alfabético regular.

Talvez o uso sistemático mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor relativo se encontre na matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zero era usado para indicar a ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema de base vinte modificado. Esse sistema era muito mais usado, provavelmente, para registrar o tempo em calendários do que para propósitos computacionais.

É possível que o mais antigo símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, que aparece no manuscrito Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou IV d.C., embora alguns historiadores o localize até no século XII. Qualquer associação do pequeno círculo dos hindus, mais comuns, com o símbolo usado pelos gregos seria apenas uma conjectura.

Como a mais antiga forma do símbolo hindu era comumente usado em inscrições e manuscritos para assinalar um espaço em branco, era chamado sunya, significando “lacuna” ou “vazio”. Essa palavra entrou para o árabe como sifr, que significa “vago”. Ela foi transliterada para o latim como zephirum ou zephyrum por volta do ano 1200, mantendo-se seu som mas não seu sentido. Mudanças sucessivas dessas formas, passando inclusive por zeuero, zepiro e cifre, levaram as nossas palavras “cifra” e “zero”. O significado duplo da palavra “cifra” hoje - tanto pode se referir ao símbolo do zero como a qualquer dígito - não ocorria no original hindu.

Fonte. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula; números e numerais, de Bernard GUNDLACH.

Histórias de Matemática

HISTÓRIA DOS NÚMEROS

A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.

A LINGUAGEM DOS NÚMEROS

Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.

O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.

O corvo assassinado

Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.

As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.

Limitações vêm de longe

Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.

Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito).

Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.

Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.

O número sem contagem

Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.

Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.

A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.

A idéia de correspondência

A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...

A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...

A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.

Do relativo ao absoluto

Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.

Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.

Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.

É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.

Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.

Palavras que representam números em algumas línguas indo-européias:

Nº	Grego arcaico	Latim	Alemão	Inglês	Francês	Russo
1	en	unus	eins	one	un	odyn
2	duo	duo	zwei	two	deux	dva
3	tri	tres	drei	three	trois	tri
4	tetra	quatuor	vier	four	quatre	chetyre
5	pente	quinque	fünf	five	cinq	piat
6	hex	sex	sechs	six	six	chest
7	hepta	septem	sieben	seven	sept	sem
8	octo	octo	acht	eight	huit	vosem
9	ennea	novem	neun	nine	neuf	deviat
10	deca	decem	zehn	ten	dix	desiat
100	hecaton	centum	hundert	hundred	cent	sto
1000	xilia	mille	tausend	thousand	mille	tysiatsa

Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural

+ frases

"Uma prova de matemática moderna não é muito diferente de uma maquina moderna: princípios fundamentais simples se escondem, quase invisíveis, debaixo de uma maçaroca de detalhes técnicos" Herman Weil, matemático alemão.
"Habilidade técnica é o domínio da complexidade, ao passo que criatividade é o domínio da simplicidade."Christopher Zeeman, matemático britânico.

Palavras de Alan Newell americano especialista em padrões

"Quando duas coisas têm o mesmo padrão, é porque elas têm o mesmo tipo de SIMETRIA MATEMÁTICA, e não porque sejam feitas da mesma matéria-prima"
Matemática é como um bom poema. Ela separa o supérfluo do essencial e destila o essencial numa semente de verdade."

Frase de Ana Catarina Hellmeister

"Quem não aprende a sair do palpável e ir para as abstrações, não aprende matemática"
"Matemática é um estoque de raciocínio.Onde a raciocínios simples que se aprende logo e raciocínios complexos em que se leva uma vida inteira para compreender."

Lógica

Quem estuda lógica, estuda o raciocínio dedutivo. ou a arte de chegar a conclusões válidas de acordo com as premissas. Se as premissas forem verdadeiras e a lógica for impecável, então as conclusões serão verdadeiras.

Ex.: A próxima frase é falsa. A frase anterior é verdadeira.
Até hoje é difícil usar s logica simbólica para identificar paradoxos em afirmações que se referem as próprias afirmações.
Se a primeira frase for verdadeira será falsa; se for falsa, será verdadeira.

+ Boole

Foi o Pai da lógica simbólica moderna, que transformou a lógica num tipo de álgebra e numa época em que mulheres dificilmente iam a universidade Boole não via diferença enter ser homem ou mulher só via a capacidade da pessoa a ser ajudada em seu campo a matemática.

George Boole

Matemático inglês, que sem diploma universitário deu aula na Universidade Queen na Irlanda.
Apresenta suas idéias:
Álgebra é a arte de pensar sobre matemática não com palavras comuns, mas com símbolos abstratos, como a letra a e o operador +, e com,regras rígidas associadas a cada operador. Se é verdade que a+b=c então é verdade que c-a=b.

+ frases

"Aprendi uma coisa: não dá para aprender nada de forma passiva. Se eu quero aprender algo, tenho de tomar as rédeas do cavalo e de guiar o cavalo. Não consigo aprender nada sentado na garupa." Marcelo Gleiser, físico brasileiro.

"não é o conhecimento, mas o ato de aprender, e não é o domínio, mas ato de chegar lá que dá o maior prazer." Karl F. Gauss matemático alemão

+ frases

"Erros com uso de dados inadequados são muitos menos frequentes do que erros com uso de nenhum dado" Charles Babbage M. inglês

"Tudo o que é extraordinário e inspirador é criado pelo indivíduo que pode trabalhar com liberdade." Albert Einstein Físico alemão.

frases

"Senhor avaliador: fale para meu professor me ensinar mais geometria" apelo de um aluno nas OBMEP _ 2010

"Uma coisa é matematicamente obvia só depois que você a entende" Robert D. Carmichael, matemático americano.

Novamente na area

Oi turma após um bom tempo eu retorno a esta pagina e vou começar a falar de matematica e educação.

Após umas férias um recomeço

Desde o dia 25/06/2008, eu não postava por aqui pois sai de férias e só voltei as atividades agora.
Mas a decepção continua, pois o que vemos é as escolas públicas do estado de São Paulo, com a mesma lenga-lenga do primeiro semestre, com os projetos de recuperação paralela que não recuperam nada nem ninguem, pois os alunos de professores incompetentes, são entregues a professores mais incompetentes ainda, mas que são amigos e apaniguados dos diretores, coordenadores e supervisores, porisso não precisam ter competência pois tem QI alto.
Desta forma mais uma vez veremos os alunos tendo que suportar horas extras de aulas sem motivação pois eles mesmos não acreditam neste PRP, que nada mais é do que propaganda política do governo Serra.

Estou de volta

Após alguns dias sem postar estou de volta.
Estive procurando algumas coisas que poderiam interessar quem nos visita e estarei publicando o que achei pois ninguém ainda pediu nada.
Este artigo é algo que nos leva a pensar seriamente nos diversos usos que a matemática pode ter.
Recentemente, um jornal brasileiro de grande circulação publicou reportagem sobre uma curiosa fórmula, descoberta por um estatístico britânico, para calcular a idade ideal para um casamento.
De acordo com a notícia, a fórmula envolveria as variáveis X, Y e M, sendo X a idade em que uma pessoa deseja parar de namorar para se casar, Y a idade em que ela começa a busca pelo par ideal, ou seja, a idade em que inicia a fase do namoro, e M a idade em que efetivamente a pessoa deve abandonar a procura para assumir um casamento.
Afirmava-se ainda que cada pessoa poderia escolher valores diferentes para X e Y, dependendo de quando ela começa e de quando espera terminar a busca pelo par ideal, deixando por conta da fórmula o cálculo de M. Em linguagem matemática, isso quer dizer que X e Y são as variáveis independentes e M, a dependente.
A fórmula impressa no jornal era: M=[(Y+1)/2,718].X-Y.
Não contive minha curiosidade e decidi fazer algumas simulações com ela. Imaginei o caso de um jovem que inicia a fase do namoro aos 18 anos (Y) e que só espera se casar aos 25 (X). Surpreendentemente, a idade ideal sugerida pela fórmula para abandonar o namoro e assumir o compromisso do matrimônio foi, aproximadamente, 156 anos de idade.
Como outras simulações também resultaram em números estranhos, busquei na internet "Dennis Lindley", o nome do autor da pesquisa, e descobri que o equívoco do jornal brasileiro foi transcrever erroneamente a linguagem matemática das operações entre as variáveis independentes descritas pelo estatístico.
Quando Dennis Lindley afirma, no artigo original, que devemos "tomar Y, somar o resultado com 1 dividido por 2,718, divisão que será multiplicada por X menos Y", a correta interpretação matemática da expressão seria M=Y+[(1/2,718).(X-Y)].
O leitor poderá verificar, com o uso da fórmula correta, que a simulação para Y=18 e X=25 apresenta um resultado perfeitamente aceitável, M=20, o que quer dizer que a idade ideal para o casamento da pessoa analisada no exemplo seria aos 20 anos.
Mais uma curiosidade: o número 2,718 que aparece na fórmula é uma aproximação do número irracional utilizado como base dos logaritmos naturais, cuja notação é a letra e.
O que fica como dica de estudo? Praticar a simulação de cálculos buscando verificar a plausibilidade dos resultados sempre é um bom caminho para a identificação de erros em matemática.
Este artigo foi escrito por José Luiz Pastore Mello.