O ensino de matemática

19-Ago-2011 Editorial do jornal O ESTADO DE S. PAULO de 19/08/2011 A matemática continua sendo a disciplina do currículo básico com os índices de aproveitamento mais baixos nas avaliações institucionais. No Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (Saresp) de 2010, por exemplo, 44% dos alunos da 3.ª série do ensino médio tiveram desempenho insuficiente na matéria. O Programa Internacional de Avaliação de Alunos (Pisa), que avalia o desempenho em leitura, matemática e ciências de jovens de 15 anos, coloca o Brasil nas últimas posições, num ranking de 65 países. Quatro em cada 10 jovens brasileiros nessa faixa etária não sabem multiplicar. Divulgado esta semana, o levantamento mais recente da situação do ensino de matemática no País foi elaborado pelo Insper (antigo Ibmec) com base nas notas do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica de 2005, 2007 e 2009, e do Exame Nacional do Ensino Médio de 2008. Entre outras conclusões, a pesquisa aponta um paradoxo: os Estados com as notas mais baixas em matemática nas avaliações do MEC são os que apresentam maior número de estudantes interessados em seguir a carreira docente no campo das ciências exatas. E o que os leva a fazer essa opção é a baixa concorrência nas licenciaturas dessa área, pois as notas exigidas para ingresso são inferiores às das áreas mais disputadas. Para as pesquisadoras Maria Cristina Gramani e Cintia Scrich, responsáveis pelo levantamento do Insper, isso vem gerando um círculo vicioso que vai piorar a má qualidade do ensino de matemática no País. Isso porque esses estudantes vão se tornar docentes na área em que apresentaram as maiores dificuldades de aprendizagem. Como no ensino básico não tiveram um bom conhecimento dos rudimentos da matemática, eles não conseguiram aprender - e, portanto, não conseguirão ensinar - as questões mais complexas. "Piauí e Sergipe são grandes exemplos dessa relação preocupante: registram altos números de inscritos e ingressantes nos vestibulares para formação de professores em ciências exatas e, ao mesmo tempo, têm desempenhos baixos em matemática", diz Cristina Gramani. Na Universidade Federal de Sergipe, por exemplo, só 20% dos alunos do 1.º ano do curso de matemática passam para o 2.º ano aprovados em todas as disciplinas. O problema é antigo e preocupante, pois a má qualidade do ensino de matemática é um dos fatores que vêm limitando a formação de engenheiros em número suficiente para atender às necessidades da economia nacional. Em 2008, os cursos de engenharia ofereceram 239 mil vagas, mas só foram preenchidas 140 mil. Ou seja, não faltam vagas nas universidades - faltam, sim, vestibulandos com conhecimento mínimo de matemática. O País forma cerca de 47 mil engenheiros por ano, ante 650 mil, na China, e 220 mil, na Índia. A estimativa é de que o Brasil tenha hoje apenas 59 mil professores formados em matemática - um número muito aquém da necessidade da rede de ensino básico. Além disso, no ensino fundamental o docente das séries iniciais tem formação em pedagogia, carecendo de formação específica em matemática. E, segundo os pedagogos, isso não é suficiente para que saiba ensinar uma disciplina bastante técnica. As séries iniciais do ensino básico são fundamentais para que os alunos aprendam a ler números, a compreender as quatro operações aritméticas e a aplicá-las no cotidiano. As deficiências nas séries iniciais comprometem assim todo o aprendizado do aluno no ensino básico. Durante décadas, imaginou-se que o baixo rendimento dos estudantes nesta disciplina decorria do método com que ela era ensinada. Valorizando a memorização de tabuada e a repetição de fórmulas, esse método não mostra aos estudantes como a matemática ajuda a raciocinar de forma lógica e objetiva. A pesquisa do Insper mostrou que o problema do baixo rendimento dos alunos em matemática não decorre só da falta de métodos de ensino mais modernos, mas também do baixo número de docentes capazes de dominar a disciplina.

Agora é a Idade Moderna

A MATEMÁTICA NA IDADE MODERNA

Do Renascimento à Revolução Industrial

A expansão da Matemática – Séculos XV e XVI

            A queda de Constantinopla frente aos Turcos, faz com que haja um grande afluxo de refugiados para a Itália, principalmente. Por este motivo, vários escritos da civilização grega retornam ao ocidente. Assim, a Europa volta a ter contato com os originais gregos, agora acrescidos das influências orientais.

            Outro fator extremamente importante para a difusão dos conhecimentos matemáticos foi a invenção da imprensa de tipos móveis. A comercialização dos livros pode ser aprimorada, o que resultou numa disseminação dos conhecimentos de uma maneira rápida e significativamente mais barata.

            O desenvolvimento dos conceitos matemáticos, aritmética, álgebra e trigonometria, estavam centrados, em sua maioria, nas cidades italianas e nas cidades de Nuremberg, Viena e Praga. Estas eram cidades mercantis em desenvolvimento, propiciando um campo fértil para a expansão matemática.

            A população volta a ter interesse pela educação. Começam a aparecer textos populares de aritmética, em linguagem clássica (latim) para os eruditos e na língua mãe, com o fim de propiciar o ensino aos jovens que tem interesse em seguir a carreira comercial.

            A expansão matemática foi tão grande neste período que é impossível relatar todos os avanços obtidos. A matemática passa a ser entendida por especialistas.

·         Nicholas Cusa (1401-1464)

Filho de um pescador pobre, entrou para a igreja e rapidamente se tornou cardeal. Foi governador de Roma. Seus trabalhos matemáticos consistem na reforma do calendário e nas tentativas de quadrar o círculo e trisseccionar o ângulo.

·         Georg Von Peurbach (1423-1463)

Aluno de Nicholas Cusa. Escreveu tratados de aritmética, astronomia e uma tábua de senos. Iniciou uma tradução latina, a partir do grego, do “Almagesto” de Ptolomeu.

·         Johann Muller (1436-1476)

Conhecido como “Regiomontanus”. Estudou com Peurbach e tomou para si o trabalho de traduzir o “Almagesto”. Traduziu também textos de Apolônio, Herão e Arquimedes. Publicou “De Triangulis Omnimodis”, primeira exposição européia sistemática de trigonometria plana e esférica, independente da astronomia. Montou um observatório e, com uma prensa tipográfica escreveu tratados de astronomia. Segundo historiadores construiu uma água mecânica que batia as asas.

·         Nicolas Chuquet

É considerado o mais brilhante matemático francês do século XV. Também se dedicou à medicina. Publicou uma obra de aritmética intitulada: “Triparty em la science des nombres”. Este trabalho enfoca cálculo com números racionais e irracionais e teoria das equações.

·         Luca Pacioli (1445-1509)

Luca Pacioli era um padre franciscano que se dedicou à compilações de álgebra, aritmética e geometria. Publicou “Summa de arithmetica, geométrica, proportioni et proportionalita”. Este trabalho, que contém muito dos assuntos encontrados no “Líber Abaci”, trata de operações fundamentais para a extração de raízes quadradas, escrituração mercantil, equações quadráticas, álgebra sincopada (p, para indicar mais). Publicou ainda “De divina proportione”, com ilustrações de sólidos geométricos feitas por Da Vinci, aluno de Pacioli.

·         Johann Widman (1460-???)

Credita-se a ele o uso, primeiramente, dos sinais de + e -. Estes símbolos eram usados para indicar excesso e deficiência.

·         Robert Recorde (1510-1558)

Deixou pelo menos cinco publicações, sendo “The ground of artes” o seu mais completo livro de aritmética, o qual atingiu 29 tiragens. Também era médico. Fez trabalhos sobre astronomia, geometria, medicina e álgebra.  Apresentou o sistema de Copérnico aos ingleses. É dele a introdução do símbolo (=) para a igualdade.

·         Michael Stifel (1486-1567)

Considerado o maior algebrista alemão do século XIV e XV. Trabalhou com álgebra, números racionais e irracionais. Associou uma progressão aritmética a uma progressão geométrica, antecipando assim a invenção dos logaritmos.

O feito matemático mais extraordinário realizado no século XVI foi a descoberta, por matemáticos italianos, da solução algébrica das equações cúbicas e quárticas.

·         Scipione del Ferro (1465-1526)

Professor de matemática da Universidade de Bolonha. Resolveu algebricamente, baseando seu trabalho em textos árabes, a cúbica x³+mx=n. Não publicou seu trabalho, mas revelou seu segredo ao discípulo Antônio Fior.

·         Nicolo Fontana de Brescia (1499-1557)

Mais conhecido como Tartaglia descobriu a solução para a cúbica x³+px²=n. Aprendeu a ler e a escrever sozinho com um caderno que roubara. Foi o primeiro a usar matemática na ciência dos tiros de artilharia. Escreveu a melhor aritmética dos século XVI com tópicos de operações numéricas e da aritmética mercantil. Publicou também edições de Euclides e Arquimedes.

·         Girolamo cardano (1501-1576)

Gênio matemático e médico. Após jurar segredo, conseguiu a fórmula de Tartaglia e publicou a mesma como sendo sua no livro “Ars Magna”. Cardano ainda conseguiu apresentar a solução da equação quártica por meios algébricos neste mesmo livro. Quem resolveu a equação foi seu discípulo Ludovico Ferrari, mas Cardano publicou a resolução. Publicou vários textos sobre aritmética, astronomia, física, medicina.

·         François Viéte (1540-1603)

Maior matemático francês do século XVI. Advogado e membro do parlamento francês. Dedicava-se à matemática por lazer. Tem uma vasta obra, com trabalhos em trigonometria, álgebra e geometria.  “Cânon mathematicus seu ad triangula” é o primeiro livro que desenvolve triângulos planos e esféricos. Muito do simbolismo algébrico se deve a ele. Trabalhou também com teoria das equações. Ele aplicou álgebra à trigonometria e à geometria. Mostrou que o problema da trissecção e da duplicação de um ângulo dependem da solução de uma equação cúbica.

·         Christopher Clavius (1537-1612)

Matemático alemão, publicou uma edição dos “Elementos” de Euclides. Escreveu textos de aritmética, álgebra, trigonometria e astronomia. Participou na reforma do calendário gregoriano.

·         Simon Stevin (1548-1620)

Matemático dos Países Baixos, integrou a armada holandesa. Fez a exposição mais antiga das frações decimais. Contribuiu para a física na área de estática e hidrostática. Também contribuiu em engenharia militar. Inventou um veículo movido a vela que transportava 28 pessoas.

·         Nicolau Copérnico (1473-1543)

Astrônomo polonês. Estudou leis, medicina e astronomia. Apresentou em 1530 sua teoria para o universo, ano de sua morte. Para apresentar este trabalho necessitou de desenvolvimentos na trigonometria. Sua teoria para o universo diferia da usual para a época, a teoria Aristotélica.

·         Georg Joachim Rhaeticus (1514-1576)

Matemático teutônico, aluno de Copérnico. Durante doze anos trabalhou na construção de tábuas trigonométricas notáveis e úteis até hoje. Estas tábuas referem-se as seis funções trigonométricas atuais. Graças a ele que os trabalhos de Copérnico foram publicados.

As realizações matemáticas no século XVI constam de: expansão da álgebra simbólica, padronização do cálculo com numerais indo-arábicos, uso comum de frações decimais, resolução de equações cúbica e quárticas por meios algébricos, aprimoramento da trigonometria e progressão da teoria das equações. Estava preparado o campo para a grande expansão que viria a ocorrer a partir do século XVII até o século XIX.

Consolidação da Matemática – Séculos XVII e XVIII

            O século XVII é extremamente importante no desenvolvimento da matemática. Tivemos o desenvolvimento dos logaritmos, por Napier; contribuição para notação e codificação da álgebra, por Harriot e Ougthred; fundação da ciência da dinâmica por Galileu; Kepler anunciou suas leis do movimento planetário; Desargues e Pascal inauguraram um novo campo da geometria pura; Descartes desenvolveu a geometria analítica; Fermat desenvolveu os fundamentos da teoria dos números; Huygens contribuiu para a teoria das probabilidades; e no final do século, Newton e Leibniz contribuíram para o desenvolvimento do cálculo.

            Este grande desenvolvimento da matemática neste período foi partilhado por todas as atividades intelectuais e só foi possível graças aos avanços políticos, econômicos e sociais da época.

            Com a política mais favorável no norte da Europa e a superação da barreira do frio e da escuridão durante os longos meses de inverno, há um deslocamento da atividade matemática da Itália para a França e Inglaterra.

            Começa uma crescente pesquisa matemática, fora do alcance do leitor comum, pois a maior parte da matemática desse período só pode ser entendida por especialistas.

            A astronomia, a navegação, o comércio, a engenharia e a guerra fizeram com que as demandas por cálculos rápidos e precisos crescessem rapidamente. Quatro invenções contribuíram muito para este progresso: notação indo-arábica, frações decimais, logaritmos e modernos computadores.

            Serão analisadas as contribuições de vários matemáticos deste período para o desenvolvimento da matemática.

·         John Napier (1550-1617)

Grande parte de sua vida foi dedicada a combater o catolicismo. Publicou um artigo intitulado “A plaine discouery of the whole reuelation of saint John”, propondo provar que o papa era o anticristo. Profetizou também sobre máquinas de guerra, acompanhado de projetos e diagramas. A metralhadora, o submarino e o tanque de guerra concretizaram estas previsões.

Napier deixou como legado quatro produtos de seu gênio: os logaritmos, um dispositivo para reproduzir fórmulas usadas na resolução de triângulos esféricos, fórmulas trigonométricas úteis na resolução de triângulos esféricos obliquângulos e um instrumento usado para multiplicações, divisões e extrair raízes quadradas de números.

Os logaritmos foram criados com o fim de transformar multiplicações e divisões em adições e subtrações. Esta abordagem foi publicada em 1614 em “Mirifici logarithmorum canonis descriptio”. Este trabalho foi complementado e aprimorado por Henry Briggs, professor de geometria de Gresham College de Londres. Os logaritmos de Briggs são, essencialmente, os logaritmos decimais. Logaritmo significa “número de razão”. Esta invenção de Napier foi utilizada por toda a Europa, em especial pelos astrônomos que necessitavam de uma maneira rápida e fácil de desenvolver seus cálculos extremamente lentos e complicados.

·         Thomas Harriot (1560-1621)

Matemático inglês que viveu no século XVI, mas teve sua obra publicada somente no século XVII. Foi o fundador da escola de algebristas dos ingleses. Publicou “Artis analyticae práxis”, o qual analisa a teoria das equações de primeiro, segundo, terceiro e quarto graus. Este assuntos também estão na obra de Viéte, mas Harriot dá um tratamento mais completo. Também foi astrônomo, sendo ele o descobridor das manchas solares e observado os satélites de júpiter, independente de Galileu.

·         William Ougthred (1574-1660)

Clérigo inglês, publicou “Clavis mathematicae”, no qual dá ênfase aos símbolos matemáticos, contribuindo com mais de 150 deles. São adotados por nós hoje: o símbolo de multiplicação (x), os quatro pontos das proporções e o de diferença (-). Também tentou introduzir abreviações para as funções trigonométricas na obra “The circles of proportion”.

·         Galileu Galilei (1564-????)

Astrônomo italiano. Começou seus trabalhos matemáticos ao observar o balanço de um lustre em uma igreja. Observou que o período de oscilação do pêndulo independe da amplitude do arco de oscilação e da massa oscilante e sim do comprimento de sua haste. Formulou

   ao largar dois pedaços de metal com pesos diferentes e observar que ambos chegavam ao chão no mesmo momento. Deve-se a Galileu o moderno espírito científico de experiência aliada a teoria. Fundou a mecânica dos corpos em queda livre, fundamentou a dinâmica. Graças a estes fundamentos Newton conseguiu estruturar uma ciência. Por ser muito religiosos, vivam angustiado, pois suas teorias e descobertas contrariavam a teoria Aristotélica de mundo, o que desagradava a igreja. Foi obrigado a abjurar de suas teorias e até o fim de sua vida viveu em prisão domiciliar e seus livros foram postos no índex da igreja por dois séculos. Segundo Galileu: “a bíblia não é e nunca pretendeu ser um texto de astronomia, biologia ou outra ciência qualquer”. (EVES, 2004) Para Galileu “a bíblia não foi criada para nos ensinar verdades científicas que podemos descobrir por conta própria, foi concebida como um livro para revelar verdades espirituais.” (EVES, 2004)

·         Johann Kepler (1571-1630)

Astrônomo alemão. Queria ser ministro luterano, mas um profundo interesse pela astronomia o levou a mudar de planos. Foi assistente do astrônomo sueco Tycho Brahe. Quando o mesmo faleceu subitamente, ele herdou a coleção de dados astronômicos sobre o movimento dos planetas de Brahe. Durante 21 anos ele trabalhou com zelo e paciência para conseguir formular, por meio de cálculos suas leis do movimento planetário. Essas lei são:

i)                          os planetas movem-se em torno do sol em trajetórias elípticas com o sol num dos focos;

ii)                        o raio vetor que liga um planeta ao sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais, e

iii)                      o quadrado de tempo para que um planeta complete sua revolução orbital é diretamente proporcional ao cubo do semi-eixo da órbita.

Essas leis são marcos fundamentais na história da astronomia e da matemática, pois para justificá-las, Newton foi levado a criar a mecânica celeste moderna. Além do que, 1800 anos depois que Apolônio desenvolveu as seções cônicas, foi determinada uma aplicação prática para as mesmas. Kepler também foi precursor do cálculo, pois para formular sua segunda lei ele necessitou de noções fundamentais do que hoje conhecemos como cálculo infinitesimal.

·         Gerard Desargues (1591-1661)

Engenheiro e Arquiteto francês, oficial do exército. Escreveu um tratado original sobre seções cônicas, nove anos após a morte de Kepler. Seu trabalho foi negligenciado e acabou sendo esquecido, junto com suas cópias, que foram destruídas. Em 1845, Michel Chasles encontrou uma cópia manuscrita do tratado, feita por Philippe de La Hire, discípulo de Desargues. Desde então este trabalho é considerado um clássico do desenvolvimento da geometria projetiva sintética. Este trabalho foi muito utilizado por Poncelet em suas teorizações.

·         Blaise Pascal (1623-1662)

Foi um dos poucos contemporâneos de Desargues que soube apreciar sua obra. Pascal foi matemático francês. Tinha uma saúde muito frágil e veio a falecer com 39 anos de idade. Durante sua curta vida apresentou muitas contribuições para o desenvolvimento da matemática. Aos 16 anos publicou um trabalho sobre seções cônicas, o qual Descartes duvidou de que fosse de sua autoria. Aos 19 anos inventou a primeira máquina de calcular. Aos 21 anos interessou-se sobre os trabalhos de Torricelli sobre pressão atmosférica. Com este interesse, deixou para a física “Principio da hidrodinâmica de Pascal”. Conduziu experiências sobre pressão dos fluidos e junto com Fermat lançou os fundamentos da teoria das probabilidades. 

Desargues e Pascal abriram o campo da geometria projetiva. Ao mesmo tempo, Descartes e Fermat abriam o campo da geometria analítica. Qual a diferença entre as duas? A geometria projetiva é um ramo da geometria, enquanto a geometria analítica é um método da geometria.

·         René Descartes (1596-1650)

Matemático e filósofo francês. Teve uma carreira militar durante vários anos, junto ao príncipe Mauricio de Orange. Em Paris, após sair da vida militar, se dedicou a construção de instrumentos ópticos. Depois, mudou-se para a Holanda, onde veio a se dedicar inteiramente à matemática e à filosofia. “Le monde” contém uma descrição física do universo. Abandonou a mesma, pois soube da condenação de Galileu pela igreja. Depois escreveu “”Discurso do método para bem conduzir a razão e procurar a verdade nas ciências”.  Este tratado tinha três apêndices: La diptrique, Lês météores, la geometrie. Neste último se encontra a base de todo o desenvolvimento da geometria analítica.

·         Pierre de Fermat (1601?-1665)

Matemático francês, que juntamente com Descartes, desenvolveu os fundamentos da geometria analítica. Em “Isogoge ad lócus planos et sólidos” encontramos a equação geral da reta e da circunferência e uma discussão sobre parábolas, elipses e hipérboles. Ao contrário de Descartes, Fermat partia de uma equação e então estudava o lugar geométrico correspondente. Fermat usou a notação de Viéte para escrever seu trabalho, o que acarretou em prejuízo para si. Fermat deixou muitos teoremas que foram comprovados com o passar dos anos. Atualmente, o “último teorema de Fermat” é o único que ainda não foi comprovado. xⁿ+yⁿ=zⁿ para n>2. Este teorema é o que mais demonstrações erradas apresenta em todos os tempos.

·         Christiaan Huygens (1629-1695)

Matemático Holandês. Aos 21 anos publicou um trabalho questionando argumentos falsos usados para demonstrar a quadratura do circulo. Junto com seu irmão resolvereu muitas questões de astronomia de observação. Isto o levou a inventar o relógio de pêndulo, para ter meios mais precisos de medir o tempo. Escreveu o primeiro tratado formal sobre probabilidade e introduziu o conceito de esperança matemática.

A expansão da Matemática – O Cálculo

            De todas as descobertas e desenvolvimentos obtidos pela matemática neste período, a mais notável e mais importante foi a invenção do cálculo por Newton e Leibniz. Com esta descoberta, a matemática passou a um plano superior e a história da matemática elementar, terminou.

            É interessante observar que o desenvolvimento do cálculo foi feito em ordem inversa ao modo como é ensinado nas universidades hoje. Primeiro desenvolveu-se o conceito de integração originado em processos somatórios ligados ao cálculo de áreas, volumes e comprimentos. Depois trabalhou-se com o conceito de diferenciação, baseado em problemas sobre tangentes à curvas, máximos e mínimos. Somente depois de algum tempo observou-se que integração e diferenciação eram operações inversas.

            Mesmo que estes conceitos tenham sido desenvolvidos, basicamente, no século XVII é necessário lembrar que a base deste desenvolvimento começou no século V a.C. com os gregos.

·         Paradoxos de Zenão

Há evidências de que na Grécia antiga se desenvolveram escolas de raciocínio matemático que abraçavam as seguintes premissas:

i)                    uma grandeza pode ser subdividida indefinidamente, e

ii)                  uma grandeza é formada de um número muito grande de partes atômicas indivisíveis.

O filósofo Zenão de Eléia chamou a atenção para as dificuldades ocultas nestas premissas através de paradoxos desenvolvidos, os quais influenciaram profundamente a matemática. Dois destes paradoxos, os quais tem a ver com o cálculo, são assim apresentados:

i)                             Dicotomia: se um segmento de reta pode ser subdividido indefinidamente, então o movimento é impossível, pois para percorrê-lo é preciso primeiro alcançar seu ponto médio;

ii)                           A flecha: se o tempo é formado de instantes atômicos indivisíveis, então uma flecha em movimento está sempre parada.

Qualquer que tenha sido a motivação para estes paradoxos, eles excluíram os infinitesimais.

·         Método de Exaustão de Eudoxo

Consta que Antífon teria antecipado a idéia de que, por sucessivas duplicações do número de lados de um polígono regular inscrito em um círculo, a diferença entre o círculo e o polígono, por fim terminaria. Mesmo muito contestada, esta abordagem apresentava o início do método de exaustão. O método de exaustão foi uma resposta da escola platônica aos paradoxos de Zenão e foi desenvolvido por Eudoxo. Este método consiste em admitir que uma grandeza possa ser subdividida indefinidamente.

De todos os matemáticos da antiguidade, quem melhor aproveitou este conceito em seus trabalhos foi Arquimedes. Em suas abordagens de áreas e volumes ele chegou a resultados muito próximos a algumas integrais definidas hoje, as quais estão presentes nos vários livros de cálculo.

·         O Método do Equilíbrio de Arquimedes

O método de exaustão é rigoroso, mas extremamente trabalhoso. Parte do princípio de que conhecida a fórmula, o método de exaustão é o caminho para prová-la.

No livro “O método”, descoberto em 1906, tratado escrito por Arquimedes, mostra que para determinar a área ou o volume, deve-se cortar a região correspondente num número muito grande de tiras planas ou fatias paralelas finas e (mentalmente) pendurar esses pedaços numa das alavancas dadas, de tal maneira a estabelecer o equilíbrio com uma figura de área ou volume e centróide conhecidos. Por este método, Arquimedes descobriu a fórmula do volume da esfera.

·         A Integração na Europa Ocidental

Somente por volta de 1450 os trabalhos de Arquimedes chegaram à Europa, através de uma tradução descoberta em Constantinopla e revisada por Regiomontanus e impressa em 1540.

            Johan Kepler foi um dos primeiros europeus ocidentais a utilizar o trabalho de Arquimedes. Kepler tinha pouca paciência com o rigor exigido pelo método de exaustão e para ganhar tempo e economizar trabalho começou a desenvolver meios de aprimorar este método.

            Bonaventura Cavalieri, aluno de Galileu, matemático brilhante, elaborou uma vasta obra que abrangia matemática, óptica e astronomia. Foi o responsável pela introdução dos logaritmos na Europa. No tratado “Geometria Indivisibilibus” ele apresenta o seu método dos indivisíveis. Este método cita Arquimedes e Demócrito, mas teve como inspiração o trabalho de Kepler para determinar áreas e volumes. Cavalieri apresentou alguns princípios:

i)                          se duas porções planas são tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina nas porções segmentos de reta cuja razão é constante, então a razão entre as retas dessas porções é a mesma constante;

ii)                        se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante.

Estes princípios representam ferramentas poderosas para o cálculo de áreas, volumes e comprimentos.

·         A Diferenciação

A diferenciação originou-se dos problemas relativos ao traçado de tangentes a curvas e problemas envolvendo máximos e mínimos. A exposição clara do método diferencial só é exposta de maneira mais precisa em 1629, por Pierre de Fermat.

Baseado na idéia de Kepler de que os incrementos de uma função tornam-se infinitesimais nas vizinhanças de um ponto de máximo ou de mínimo, Fermat transformou esse fato em um processo para determinar este pontos de máximo ou de mínimo. Este processo de Fermat tinha alguns pontos falhos: não distinguia entre valor máximo ou mínimo e que a condição da derivada de f(x) se anular não é suficiente para se ter um máximo ou um mínimo.

·         Wallis e Barrow

Estes dois matemáticos foram os predecessores imediatos de Newton na Inglaterra.

John Wallis (1616-1703) foi um dos matemáticos mais capazes de seu tempo. Ele foi o primeiro a ensinar um sistema de ensino para surdos. Na sua publicação “Arithmetica  infinitorum”  ele sistematiza e estende os métodos de Descartes e Cavalieri. Wallis foi o primeiro a explicar de maneira satisfatória o significado dos expoentes zero, negativos e fracionários, bem como a introdução do símbolo de infinito (¥).

Isaac Barrow (1630-1677) é considerado o maior especialista em grego de seu tempo. Extremamente produtivo em matemática, física, astronomia e teologia. Foi o primeiro ocupante da cátedra lucasiana de Cambridge. Ao renunciar à cátedra, para se tornar o capelão de Carlos II, indicou para seu lugar, seu discípulo: Isaac Newton.

Neste momento do desenvolvimento do cálculo, muito já havia sido feito: integrações, cubaturas, quadraturas, inicio de processos de diferenciação, idéia inicial de limites e o teorema fundamental já estava desenvolvido. Faltava ainda a criação de um simbolismo geral com um conjunto sistemático de regras analíticas formais que fundamentasse a matéria. É neste ponto que surgem Newton, Leibniz e Cauchy. Newton e Leibniz criaram um cálculo manipulável e proveitoso, enquanto Cauchy fez o redesenvolvimento dos conceitos fundamentais em bases aceitáveis.

·         Os “Criadores” do Cálculo

Isaac Newton(1642-1727) desde jovem possuía habilidade para projetar miniaturas mecânicas. Consta que ele construiu um moinho de brinquedo para moer farinha usando a força motriz de um rato. Construiu ainda um relógio de madeira movido a água. Foi no período em que esteve em Cambridge que escreveu seus maiores trabalhos. Durante o desenvolvimento do cálculo se viu envolvido em discussões de baixo nível, alimentadas por terceiros, com Leibniz. Os matemáticos ingleses tomaram o partido de Newton e voltaram as costas ao continente, razão pela qual, por cem anos, o progresso matemático foi retardado na Inglaterra. São trabalhos por ele desenvolvidos:

* teoria ondulatória da luz;

* álgebra e teoria das equações;

* lei da gravitação;

* mecânica celeste;

* justificação das leis do movimento planetário de Kepler.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-????) é considerado um gênio universal do século XVII e rival de Newton no desenvolvimento do cálculo. Com 12 anos dominava todo o conhecimento matemático, filosófico, teológico e de direito corrente no período. Nesta idade começou a escrever “Characteristica generalis”, que envolvia matemática universal, que foi ponto de partida para a álgebra simbólica de Boole. Trabalhou durante sua vida no serviço diplomático na corte de Hanover. Leibniz desenvolveu o teorema fundamental do cálculo, grande parte da notação para o assunto e fórmulas elementares de diferenciação.
 Com a invenção do seu cálculo, entre 1673 e 1676, ele utilizou pela primeira vez o símbolo de integral

 derivado da primeira letra latina Summa (soma), que tinha por objetivo indicar uma soma de indivisíveis. Logo depois ele já escrevia diferenciais como conhecemos hoje.

Também é creditado a Leibniz a criação da teoria dos determinantes, apesar de que Seki Kowa, japonês, dez anos antes, já havia feito considerações importantes sobre o assunto.

O primeiro texto de cálculo foi publicado em 1696 pelo marquês de L’hospital (1661-1674) com lições que recebera de seu professor particular Johann Bernoulli.

·         Exploração do Cálculo

Depois que Newton e Leibniz definiram as regras para o cálculo, vários matemáticos concentraram sua aplicação na mecânica. Muitos destes matemáticos estavam ligados à filósofos do iluminismo.

·         A família Bernoulli

Desde o final do século XVII até a época atual esta família tem produzido cientistas em todas as gerações. Nikolaus Bernoulli (1623-1708), Jakob (1654-1705), Nikolaus (1662-1716), Johann (1667-1748), Nikolaus I (1687-1759), Nikolaus II (1695-1726) e Daniel (1700-1782) fizeram grandes contribuições ao desenvolvimento da matemática. Dentre elas, podemos citar: cálculo diferencial e integral, equações diferenciais ordinárias, coordenadas polares, estudo da catenária, estudo da lemniscata, da espiral logarítmica e da isócrona, figuras isoperimétricas, permutações, combinações e distribuições binomiais. Além disto, apresentaram trabalhos nas áreas de astronomia, física, fisiologia e hidrodinâmica. Teoria das cordas vibrantes e séries trigonométricas.

·         Leonhard Euler

Euler foi aluno de Johann Bernoulli. Euler, matemático suíço, considerado o maior escritor de textos matemáticos. Suas publicações totalizam 886 artigos, textos e livros matemáticos. Muitos deles escritos quando Euler já estava parcialmente cego ou mesmo cego. Escreveu textos em matemática pura e aplicada. Seus textos trazem publicações sobre todos os assuntos matemáticos conhecidos na época. Laplace, Lagrange e Gauss conheceram e seguiram Euler em todos os seus trabalhos.

Existem livros de Euler sobre hidráulica, construção de navios e sobre artilharia, bem como sobre ciência natural. Mesmo com Euler sendo o principal matemático neste período, na França vários matemáticos viram a trazer perfeição às teorias de Newton.

·         Pierre de Maupertius

Matemático francês, conhecido como “o grande aplanador”, pois em 1736-1737 comandou uma expedição ao Peru e outra à Suíça onde mediram um arco de meridiano e um arco de longitude, vindo a validar a teoria de Newton de que a terra é achatada nos pólos. Maupertius tentou formular um princípio geral pelo qual as leis do universo pudessem ser unificadas. Combinou sua formulação como uma prova da existência de Deus, sendo ridicularizado pelo filósofo Voltaire.

·         Aléxis Claude Clairaut

Aos 18 anos de idade publicou um tratado na tentativa de tratar a geometria analítica e diferencial das curvas espaciais e um tratado sobre o equilíbrio dos fluidos e a atração dos elipsóides de revolução. Também fez contribuições para os integrais de linha e equações diferenciais.

·         Jean Lê Rond D’Alembert

Matemático brilhante, escreveu tratados sobre vários assuntos na matemática, dentre estes podemos destacar: método de reduzir a dinâmica dos corpos sólidos à estártica, hidrodinâmica, aerodinâmica, teoria das cordas vibrantes, teoria das equações diferenciais às derivadas parciais e noções de limites.

·         Joseph-Louis Lagrange

Matemático francês, que nasceu em Turim, Itália. Apresentou contribuições muito importantes em cálculo das variações, partindo dos trabalhos de Euler. Usando a formulação dele aplicou a sua teoria em problemas de dinâmica. Em 1767 apresentou métodos para separar raízes reais de uma equação algébrica e para aproximá-las, por meio de frações contínuas. Trabalhou em equações de grau n>4.

·         Pierre Simon Laplace

É considerado o último dos matemáticos do século XVIII, mas não menos importante que os demais. O seu tratado “Mecanique céleste” foi o culminar dos trabalhos de Newton, Clairaut, D’Alembert, Euler e Lagrange. No texto “Theorie analytique des probabilités” Laplace apresenta toda a estruturação dos conceitos que envolvem o cálculo das probabilidades. 

Muitos matemáticos, ao final do século XVIII expressaram o sentimento de que as descobertas matemáticas estavam saturadas. Segundo eles, os matemáticos das gerações vindouras apenas iriam desvendar problemas de menor envergadura. Desde a antiga babilônia até Laplace e Euler, a astronomia guiou e inspirou as mais sublimes descobertas na matemática. No fim do século XVIII este desenvolvimento parecia ter atingido seu máximo. Mas, uma nova geração, inspirada pela revolução francesa e impulsionada pela revolução industrial veio demonstrar que este pessimismo era infundado.

Hoje é dia dos orientais.

A Matemática Oriental
(Árabes, Hindus e Chineses)

Com o domínio romano exercido em toda a Grécia e com o posterior fechamento da escola de Atenas pelo imperador Justiniano, a matemática e as ciências gregas entraram em declínio. Muitos pesquisadores pegaram seus manuscritos e fugiram da Grécia e proximidades para o oriente médio. Isto fez com que a ciência oriental florescesse de maneira muito rápida. Este incremento das ciências orientais foi muito importante para o desenvolvimento da matemática.
Durante todo o período em que o império romano dominou o mundo conhecido da época, tanto economicamente quanto culturalmente, o oriente foi a parte mais desenvolvida. A parte ocidental não foi baseada em uma economia de irrigação, sua agricultura era extensiva, o que não estimulou o desenvolvimento da astronomia. Assim, o ocidente se contentou com um mínimo de astronomia, alguma aritmética e algumas medições para o comércio e agrimensura. O estímulo para este desenvolvimento veio do oriente. Após a separação política entre ocidente e oriente, este estímulo praticamente desapareceu.

Árabes

Depois da conquista árabe, em 641 teve origem Bagdá, em substituição à babilônia, que havia desaparecido. A matemática do período islâmico revela a mesma mistura de influências que se tornaram familiares em Alexandria e na Índia.
A matemática e a astronomia foram grandemente incentivadas pelos califas de Bagdá: Al-mansur (754-775), Harun Al-raschid (766-809) e Al-mamun (813-833). Este último organizou em Bagdá a “casa da sabedoria”, composta de uma biblioteca e um observatório.
As atividades matemáticas árabes começaram com a tradução dos Siddanthas hindus por Al-Fazari e culminaram com uma grande importância com Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi, por volta de 825. Ele escreveu vários tratados sobre matemática e astronomia. Estes tratados explicavam o sistema de numeração hindu. A europa ficou conhecendo este sistema de numeração graças a uma cópia latina do século XII, visto que o original árabe se perdeu. A astronomia de Al-Khwarizmi era um resumo dos Siddanthas, o qual mostrava uma influência grega nos textos sânscritos.
Convém ressaltar que a palavra “álgebra” vem do árabe “al-jabr”, que siginifica “restauração”.
Os árabes tiveram um papel muito importante na história da matemática, pois eles traduziram, fielmente, os clássicos gregos (Apolônio, Arquimedes, Euclides, Ptolomeu e outros). Estes clássicos estariam perdidos para nós sem os árabes, visto o fechamento da escola de Atenas por Justiniano.
Outro matemático brilhante foi Omar Khayyam. Ele escreveu uma álgebra que continha uma investigação sistemática de equações cúbicas, utilizando a interseção de duas seções cônicas.
Jemshid Al-Kashi, matemático Persa resolveu equações cúbicas por iteração e por métodos trigonométricos, e também pelo método conhecido hoje como “método de Horner”. Este método tem uma forte influência chinesa, o que nos faz pensar que a matemática chinesa da dinastia Sung havia penetrado profundamente no mundo islâmico.
Por tudo isto, ressalta-se a importante influência do povo árabe na matemática. 
É preciso lembrar, também, o papel das cruzadas. Com as cruzadas a Europa cristã teve, novamente, contato com a matemática grega, traduzida para o árabe. Isto veio a influenciar muito a Europa medieval e serviu como fonte para o desenvolvimento da matemática durante a idade média.

 Chineses

A civilização chinesa, bem como a civilização indiana, são muito mais antigas que as civilizações grega e romana, mas não mais antigas que as civilizações egípcia e mesopotâmicas.

Os historiadores consideram muito difícil datar documentos matemáticos da China. O clássico mais antigo da matemática chinesa “Chou Pei Suang Ching” tem uma variação de quase mil anos entre suas datas mais prováveis de escrita. A maior dificuldade em datar este documento ocorre porque foi escrito por várias pessoas, em períodos diferentes. O Chou Pei indica que na China a geometria originou-se da mensuração, assim como na babilônia, sendo um exercício de aritmética ou álgebra. Neste trabalho há indicações que os chineses conheciam o teorema de Pitágoras.

Outra publicação tão antiga quanto o Chou Pei, é o livro de matemática “Chui Chang Suan Shu” (Nove capítulos sobre a arte da matemática, em torno de 1200 a.c.). Entre vários assuntos abordados, chama a atenção problemas sobre mensuração de terras, agricultura, sociedades, engenharia, impostos, cálculos, soluções de equações e propriedades dos triângulos retângulos. Nesta mesma época os Gregos compunham tratados logicamente ordenados e expostos de forma sistemática. Os chineses seguiam a mesma linha babilônica, compilando coleções com problemas específicos. Assim como os Egípcios, os chineses alternavam, em seus experimentos, resultados precisos e imprecisos, primitivos e elaborados. Nesta publicação aparecem soluções de sistemas lineares com números positivos e negativos.

Como os chineses gostavam de resolver sistemas, os diagramas foram muito utilizados por eles. É interessante observar que o quadrado mágico teve seu primeiro registro efetuado por este povo, mesmo que sua origem é mais antiga, porém desconhecida.

Provavelmente houve contato cultural entre Índia e China e entre a China e o ocidente. Muitos dizem que houve influência babilônica na matemática chinesa, apesar de que a China não utilizava frações sexagesimais. O sistema de numeração chinês era decimal, porém com notações diferentes das conhecidas na época. Eles utilizavam o sistema de “barras” (I, II, III, IIII, T). Não podemos precisar a idade deste sistema de numeração, porém sabe-se que ele é anterior ao sistema de notação posicional.

Esta notação em barras não era simplesmente utilizada em placas de calcular (escrita). Barras de bambu, marfim ou de ferro eram carregadas em sacolas pelos administradores para que os cálculos fossem efetuados. Este método era mais simples e rápido do que o cálculo realizado com ábaco, soroban ou suan phan.

Os chineses conheciam as operações sobre frações comuns, utilizando o m.d.c. Trabalhavam com números negativos por meio de duas coleções de barras (vermelha para os coeficientes positivos e preta para os negativos), porém não aceitavam números negativos como solução de uma equação.

A matemática chinesa é tão diferente da matemática de outros povos da mesma época que seu desenvolvimento ocorreu de forma independente.Lui Hui, no terceiro século, determinou um valor para Pi utilizando, primeiro um polígono regular com 96 lados (3,14) e depois utilizando um polígono regular com 3072 lados (3,14159).

O ponto alto da matemática chinesa ocorreu no século XIII durante o fim do período Sung. Nesta época foi descoberta a impressão, a pólvora, o papel e a bússola. Obras chinesas desta época influenciaram fortemente a Coréia e o Japão. Muitas desta obras desapareceram da China neste período, reaparecendo apenas no século XIX.

Yang Hui (1261 – 1275), matemático talentoso trabalhou com séries numéricas e apresentou uma variação chinesa para o triângulo de Pascal.

Sabe-se que a partir da idade média na Europa, a matemática chinesa não tinha realizações que se comparassem às européias e do oriente próximo. Possivelmente a China absorvia mais matemática do que enviava. Possivelmente as ciências chinesas e hindus sofreram influências mútuas durante o primeiro milênio de nossa era.

 Hindus

A matemática hindu apresenta mais problemas históricos do que a grega, pois os matemáticos indianos raramente se referiam a seus predecessores e exibiam surpreendente independência em seu trabalho matemático.
A Índia, assim como o Egito, tinha seus “esticadores de corda”. As primitivas noções geométricas tomaram corpo no escrito conhecido como “Sulvasutras” (regras de cordas). Este escrito tem três versões, sendo que a mais conhecida tem o nome de Apastamba. Nesta primeira versão, da mesma época de Pitágoras, são encontradas regras para construção de ângulos retos por meio de ternas de cordas cujos comprimentos formam tríadas pitagóricas. Este escrito, provavelmente, sofreu influência babilônica, visto que estas tríadas encontram-se nas tábuas cuneiformes. A origem e a data dos Sulvasutras são incertos, de modo que não é possível relacioná-los com a primitiva agrimensura egípcia ou com o problema grego de duplicar um altar.
Após esta publicação, surgiram os “Siddhantas” (sistemas de astronomia). O começo da dinastia Gupta (290) assinalou um renascimento da cultura sânscrita e estes escritos podem ter sido um produto disto. A trigonometria de Ptolomeu se baseava na relação funcional entre as cordas de um círculo e os ângulos centrais que subentendem. Para os autores dos Siddhantas, a relação ocorre entre metade de uma corda de um círculo e metade do ângulo subentendido no centro pela corda toda.

A Índia teve muitos matemáticos que fizeram grandes contribuições. Entre eles podemos destacar:

• Aryabhata

Publicou, em 499, uma obra intitulada “Aryabhatiya”. Esta publicação é um pequeno volume sobre astronomia e matemática, semelhante aos “Elementos” de Euclides, porém de oito séculos antes. São compilações de resultados anteriores. Esta obra contém: nome das potências de dez, até a décima; regras de mensuração (muitas erradas); área do triângulo; volume da pirâmide (incorreto); área do círculo; volume da esfera (incorreto) e áreas de quadriláteros (algumas incorretas). Também encontramos cálculos com a medida do tempo e trigonometria esférica.

• Brahmagupta

Viveu na Índia central pouco mais de cem anos depois de Aryabhata. Tem pouco em comum com seu predecessor que vivia no leste da Índia. Seu trabalho mais importante foi a generalização da fórmula de Heron para achar a área de qualquer quadrilátero. Também trabalhou na solução de equações quadráticas com raízes negativas.

• Bhaskara

Considerado o mais importante matemático do século doze (1114 – 1185). Ele preencheu as lacunas do trabalho de Brahmagupta. É dele a primeira resposta plausível para a divisão por zero. Em seu trabalho “Vija-Ganita” ele afirma que tal quociente é infinito. Sua outra obra, “Lilavati”, apresenta tópicos sobre equações lineares e quadráticas, determinadas e indeterminadas, mensuração, progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas, entre outras. Sua obra representa a culminação de contribuições hindus anteriores.

• Ramanujan

Após Bhaskara, a Índia passou vários séculos sem matemáticos de importância comparável. Srinivasa Ramanujan (1887-1920) é considerado o gênio hindu, em aritmética e álgebra, do século vinte.

A introdução de uma notação para uma posição vazia, o símbolo para o zero, foi o segundo passo para o nosso moderno sistema de numeração. Não se sabe se o número zero (diferente do símbolo para a posição vazia) surgiu junto com os nove numerais hindus. É bem possível que o zero seja originário do mundo Grego, talvez de Alexandria. Possivelmente foi transmitido à Índia depois que o sistema posicional já estava estabelecido lá. É interessante observar que os Maias do Yucatán (México), anterior à Colombo, usavam notação posicional, com notação para a “posição vazia”. Com a introdução, na notação hindu, do décimo numeral, um ovo de ganso para o zero, o nosso moderno sistema de numeração para os inteiros estava completo.

A nova numeração, geralmente chamada de hindu-arábica, é uma nova combinação dos três princípios básicos, todos de origem antiga:

i) base decimal

ii) notação posicional

iii) forma cifrada para cada um dos dez numerais

Nenhum destes de se deveu, originalmente, aos hindus, mas foi devido a eles que os três foram ligados pela primeira vez para formar o nosso sistema de numeração.

Outra contribuição importante dos hindus foi a introdução de um equivalente da função seno na trigonometria para substituir a tabela de cordas dos gregos. A trigonometria hindu era um instrumento útil e preciso para a astronomia.

• BIBLIOGRAFRIA

BARBEIRO, Heródoto. Et alli. História. Ed. Scipione. 2005

BERUTTI, Flávio. História. Ed. Saraiva. 2004.

BOYER, Carl B. História da matemática. 2º ed. SP. Edgard Blucher, 2003.

EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 2º ed. UNICAMP, 2002.

LINTZ, Rubens G. História da matemática. FURB. 1999.

STRUIK, História concisa das matemáticas. Gradiva. 1989.

Hoje é dia de Álgebra

HISTÓRIA DA ÁLGEBRA
(uma visão geral)

Fonte: Tópicos de História da Matemática - John K. Baumgart

Estranha e intrigante é a origem da palavra "álgebra". Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos ("número"). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de álgebra é com frequência citado, abreviadamente, como Al-jabr.

Uma tradução literal do título completo do livro é a "ciência da restauração (ou reunião) e redução", mas matematicamente seria melhor "ciência da transposição e cancelamento"- ou, conforme Boher, "a transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação" e "o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação". Assim, dada a equação:

x² + 5x + 4 = 4 - 2x + 5x³

al-jabr fornece
x² + 7x + 4 = 4 + 5x³

e al-muqabalah fornece
x² + 7x = 5x³

Talvez a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das equações".
Ainda que originalmente "álgebra" refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases:
(1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las.
(2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis e corpos - para mencionar apenas algumas.
De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos dessas duas fases, uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual.

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Equações algébricas e notação

A fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C. a 1700 d.C., aproximadamente, caracterizou-se pela invenção gradual do simbolismo e pela resolução de equações (em geral coeficientes numéricos) por vários métodos, apresentando progressos pouco importantes até a resolução "geral" das equações cúbicas e quárticas e o inspirado tratamento das equações polinomiais em geral feito por François Viète, também conhecido por Vieta (1540-1603).

O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o retórico (ou verbal), o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o simbólico. No último estágio, a notação passou por várias modificações e mudanças, até tornar-se razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton. É interessante notar que, mesmo hoje, não há total uniformidade no uso de símbolos. Por exemplo, os americanos escrevem "3.1416" como aproximação de Pi, e muitos europeus escrevem "3,1416". Em alguns países europeus, o símbolo "÷" significa "menos". Como a álgebra provavelmente se originou na Babilônia, parece apropriado ilustrar o estilo retórico com um exemplo daquela região. O problema seguinte mostra o relativo grau de sofisticação da álgebra babilônica. É um exemplo típico de problemas encontrados em escrita cuneiforme, em tábuas de argila que remontam ao tempo do rei Hammurabi. A explanação, naturalmente, é feita em português; e usa-se a notação decimal indo-arábica em vez da notação sexagesimal cuneiforme. A coluna à direita fornece as passagens correspondentes em notação moderna. Eis o exemplo:

[1] Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura.

[2] [Dado] 32 soma; 252 área.	x+y=k xy=P } ... (A)
[3] [Resposta] 18 comprimento; 14 largura.
[4] Segue-se este método: Tome metade de 32 [que é 16].	k/2
16 x 16 = 256	(k/2)2
256 - 252 = 4	(k/2)2 - P = t2 } ... (B)
A raiz quadrada de 4 é 2.
16 + 2 = 18 comprimento.	(k/2) + t = x.
16 - 2 = 14 largura	(k/2) - t = y.
[5] [Prova] Multipliquei 18 comprimento por 14 largura. 18 x 14 = 252 área	((k/2)+t) ((k/2)-t) = (k2/4) - t2 = P = xy.

Nota-se que na etapa [1] o problema é formulado, na [2] os dados são apresentados, na [3] a resposta é dada, na [4] o método de solução é explicado com números e, finalmente, na [5] a resposta é testada.

A "receita" acima é usada repetidamente em problemas semelhantes. Ela tem significado histórico e interesse atual por várias razões.

Antes de tudo não é a maneira como resolveríamos hoje o sistema (A). O procedimento padrão nos atuais textos escolares de álgebra é resolver, digamos, a primeira equação para y (em termos de x), substituir na segunda equação e, então, resolver a equação quadrática resultante em x; isto é, usaríamos o método de substituição. Os babilônios também sabiam resolver sistemas por substituição, mas frequentemente preferiam usar seu método paramétrico. Ou seja, usando-se notação moderna, eles concebiam x e y em termos de uma nova incógnita (ou parâmetro) t fazendo x=(k/2)+t e y=(k/2)-t.

Então o produto

xy = ((k/2) + t) ((k/2) - t) = (k/2)² - t² = P

levava-os à relação (B):

(k/2)² - P = t²

Em segundo lugar, o problema acima tem significado histórico porque a álgebra grega (geométrica) dos pitagóricos e de Euclides seguia o mesmo método de solução - traduzida, entretanto, em termos de segmentos de retas e áreas e ilustrada por figuras geométricas. Alguns séculos depois, outro grego, Diofanto, também usou a abordagem paramétrica em seu trabalho com equações "diofantinas". Ele deu início ao simbolismo moderno introduzindo abreviações de palavras e evitando o estilo um tanto intrincado da álgebra geométrica.

Em terceiro lugar, os matemáticos árabes (inclusive al-Khowarizmi) não usavam o método empregado no problema acima; preferiam eliminar uma das incógnitas por substituição e expressar tudo em termos de palavras e números.

Antes de deixar a álgebra babilônica, notemos que eles eram capazes de resolver uma variedade surpreendente de equações, inclusive certos tipos especiais de cúbicas e quárticas - todas com coeficientes numéricos, naturalmente.

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Álgebra no Egito

A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo que na Babilônia; mas faltavam à álgebra egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como a variedade de equações resolvidas, a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - documentos egípcios que datam de cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., respectivamente, mas refletem métodos matemáticos de um período anterior. Para equações lineares, os egípcios usavam um método de resolução consistindo em uma estimativa inicial seguida de uma correção final - um método ao qual os europeus posteriormente deram o nome umtanto abstruso de "regra da falsa posição". A álgebra do Egito, como a da Babilônia, era retórica.

O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com o dos babilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os matemáticos europeus do século XVI tiveram de estender a noção indo-arábica de número antes de poderem avançar significativamente além dos resultados babilônios de resolução de equações.

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Álgebra geométrica grega

A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era geométrica. Por exemplo, o que nós escrevemos como:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposição 4:

Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contém. [Isto é, (a+b)² = a² + 2ab + b².]

Somos tentados a dizer que, para os gregos da época de Euclides, a² era realmente um quadrado.

Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato, seguiam os métodos-padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou registrados esses resultados pitagóricos. Para ilustrá-lo, escolhemos o teorema correspondente ao problema babilônio considerado acima.

Do livro VI dos Elementos, temos a proposição 28 (uma versão simplificada):

Dada uma linha reta AB [isto é, x+y=k], construir ao longo dessa linha um retângulo com uma dada área [xy = P], admitindo que o retângulo "fique aquém" em AB por uma quantidade "preenchida" por outro retângulo [o quadrado BF na Figura 2], semelhante a um dado retângulo [que aqui nós admitimos ser qualquer quadrado].

Na solução desta construção solicitada (Fig.2) o trabalho de Euclides é quase exatamente paralelo à solução babilônica do problema equivalente. Conforme indicado por T.L.Heath / EUCLID: II, 263/, os passos são os seguintes:

Bissecte AB em M:	k/2
Construa o quadrado MBCD:	(k/2)2
Usando VI, 25, construa o quadrado DEFG com área igual ao excesso de MBCD sobre a área dada P:	t2 = (k/2)2 - P
Então é claro que	y = (k/2) - t

Como fazia frequentemente, Euclides deixou o outro caso para o estudante - neste caso, x=(k/2)+t, o que Euclides certamente percebeu mas não formulou.

É de fato notável que a maior parte dos problemas-padrão babilônicos tenham sido "refeitos" desse modo por Euclides. Mas por quê? O que levou os gregos a darem à sua álgebra esta formulação desajeitada? A resposta é básica: eles tinham dificuldades conceituais com frações e números irracionais.

Mesmo que os matemáticos gregos fossem capazes de contornar as frações, tratando-as como razões de inteiros, eles tinham dificuldades insuperáveis com números como a raiz quadrada de 2, por exemplo. Lembramos o "escândalo lógico" dos pitagóricos quando descobriram que a diagonal de um quadrado unitário é incomensurável com o lado (ou seja, diag/lado é diferente da razão de dois inteiros).

Assim, foi seu estrito rigor matemático que os forçou a usar um conjunto de segmentos de reta como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que raiz quadrada de 2 não possa ser expresso em termos de inteiros ou suas razões, pode ser representado como um segmento de reta que é precisamente a diagonal do quadrado unitário. Talvez não seja apenas um gracejo dizer que o contínuo linear era literalmente linear.

De passagem devemos mencionar Apolônio (c. 225 a.C.), que aplicou métodos geométricos ao estudo das secções cônicas. De fato, seu grande tratado Secções cônicas contém mais geometria analítica das cônicas - toda fraseada em terminologia geométrica - do que os cursos universitários de hoje.

A matemática grega deu uma parada brusca. A ocupação romana tinha começado, e não encorajava a erudição matemática, ainda que estimulasse alguns outros ramos da cultura grega. Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica, esta não poderia sobreviver somente na tradição escrita; necessitava de um meio de comunicação vivo, oral. Era possível seguir o fluxo de idéias desde que um instrutor apontasse para diagramas e explicasse; mas as escolas de instrução direta não sobreviveram.

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Álgebra na Europa

A álgebra que entrou na Europa (via Liber abaci de Fibonacci e traduções) havia regredido tanto em estilo como em conteúdo. O semi-simbolismo (sincopação) de Diofanto e Brahmagupta e suas realizações relativamente avançadas não estavam destinados a contribuir para uma eventual irrupção da álgebra.

A renascença e o rápido florescimento da álgebra na Europa foram devidos aos seguintes fatores:

1.     facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de numeração indo-arábico, muito superior aos sistemas (tais como o romano) que requeriam o uso do ábaco;

2.     invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a padronização do simbolismo mediante a melhoria das comunicações, baseada em ampla distribuição;

3.     ressurgimento da economia, sustentando a atividade intelectual; e a retomada do comércio e viagens, facilitando o intercâmbio de idéias tanto quanto de bens.

Cidades comercialmente fortes surgiram primeiro na Itália, e foi lá que o renascimento algébrico na Europa efetivamente teve início.